浮沉子运动的两种分析方法及对不可逆现象的解释
李昊
（中国地质大学北京）
摘要：浮沉子作为一个简单的物理模型，其主要是靠改变自身浮力与重力的差值来实现在水中的上浮与下沉，这也与潜水艇的工作原理相类似。对于浮沉子的运动分析主要有两种方法：1.视浮沉子重力不变。2.视浮沉子浮力不变。本文分别采用两种方法分析了浮沉子的运动规律，并对两种方法的一致性进行了探究。最终得出了浮沉子在不同条件下可能出现的运动状况和规律，并对浮沉子不可逆现象做出了解释。
关键词：浮沉子重力浮力不可逆
一、浮沉子简介
浮沉子是一个简单的物理模型，它能够在水中完成下沉和上浮。该模型最早于17世纪被提出，其可以看做为下端有开口的小瓶体在内部保持有一定量的空气后倒置放入水中，改变外部水的压力，可以实现小瓶的下沉与上浮。
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二、浮沉子运动情况分析
1.视浮沉子（包括内部空气）质量不变
以图1中浮沉子为例，其将浮沉子放置于量筒中，量筒内加满水，并用橡皮膜封口。通过对橡皮膜施加压力使得量筒内水压增大，进而压缩浮沉子内空气，使得浮力与重力差值改变，从而达到浮沉子上浮与下沉的目的。
当我们未施加外力时，浮沉子漂浮在水的表面。设浮沉子初始质量为m0,重力为G，浮沉子内初始空气体积为V0气,浮沉子体积为V物，水的密度为ρ，浮沉子下沉深度为Δh，浮沉子内空气初始压强为p0。
图2浮沉子受力
当我们未施加外力时，浮沉子悬浮于水面上此时F浮＞G，但由于顶部橡皮膜使得浮沉子静止于量筒顶部。当我们施加外力产生压强p外，则由帕斯卡原理，p外将传至量筒内水的各点，即水的各处压强均增加p外。则在未施压前，浮沉子内空气压强为p0，与水的压强相等。但当施加外力以后，浮沉子所受水压增大为：
（1）
此时浮沉子内空气压强小于浮沉子所受水压，则浮沉子内部空气被压缩。则由阿基米德浮力定律：
（2）
此时由于浮沉子内空气被压缩，浮沉子(包括内部空气)排开水的体积减小,浮沉子浮力减小。但浮沉子质量不变，故其重力不变，此时由于浮力减小，导致重力大于浮力，浮沉子开始下降。
当浮沉子下沉至一定深度时，我们撤去外力，此时浮沉子由于在水中下沉了深度，故其所受水压也会加大，浮沉子所受水压：
（3）
撤去外力，水压变为：
（4）
由于撤去外力，浮沉子所受水压减小。在浮沉子下沉过程中，内部空气被压缩，设在撤去外力时浮沉子内空气压强增量为Δp，Δp分为两个部分，分别是外力和下沉水压增加导致浮沉子空气压强增大。则此时浮沉子内空气压强变为：
（5）
则当Δp＞ρgΔh时，空气压强大于外部水压，气体膨胀，浮沉子浮力增大，当浮力大于重力，浮沉子上升。
现在我们来看当浮沉子下沉一定深度后浮力变化情况。在下降后Δh，浮沉子重力不变，所受水压增大，内部空气压强增大Δp，则在此过程中由理想气体状态方程：
（6）
我们可以得出空气体积的变化量，
（7）
（8）
即由于浮沉子内空气被压缩，体积减小了ΔV,则浮力减小量为：
（9）
以上即为视浮沉子质量不变时的分析,其结果即为浮力减小ΔF浮从而改变了重力与浮力的差值。
2.视浮沉子浮力不变
在视浮沉子质量不变时，我们所分析的对象是包括小瓶和瓶内气体为整体的，但在视浮沉子浮力不变时，我们所分析的对象为浮沉子小瓶所占据的圆柱体整体（包括内部空气以及进入浮沉子内的水）。
图3所选取分析对象
在视浮力不变的条件下，我们未施加外力时浮沉子受力情况与之前一致，悬浮于量筒上部。当我们施加外力时，由于我们所分析的对象其体积是一定的，故在整个运动过程中物体排开水的重力不变，即浮力不变。我们设其体积为V1，则其所受浮力为：
（10）
当我们施加外力时，浮沉子所受外水压变大，水进入到浮沉子中，但此时我们所选取的分析对象为包含浮沉子内水的整体，故当水进入后，其质量增大，重力增大，当重力大于浮力时浮沉子下降。在浮沉子下沉过程中，内部空气压强变化以及所受外水压变化与之前分析相一致。当浮沉子下沉到一定深度时，撤去外力，此时空气压强与外水压差同之前分析相同，但此时当浮沉子内的水被压出时，由于所选分析对象体积不变，故浮力仍不变。由于水被压出浮沉子，使得浮沉子损失了这一部分水的质量，质量变小，重力减小，当重力小于浮力时浮沉子上浮。对于下沉过程中重力的变化量：
在下沉过程中浮沉子内部气体压强同之前一致，
（11）
则我们同样用理想气体状态方程可以得出气体体积变化量仍为：
（12）
即此时浮沉子内空气体积减小了ΔV，则这时会有ΔV体积的水进入到浮沉子内，使得浮沉子重力增大，其重力增量即为流入水的重力：
（13）
当我们视浮沉子浮力不变时，其结果为浮沉子的重力会改变,从而改变了重力与浮力的差值。
过了腊八就是年
三、两种分析方法的一致性
对于两种分析方法我们可以看出这两种方法在我们未施加外力时浮沉子的状态都是一致的，悬浮于量筒上方。在施加外力后，浮沉子开始下降，在下沉过程中浮沉子内空气压强的增量在两种方法中也是一致
（14）
在同外力，同下沉深度下两种方法的Δp也一致，故在两种方法下浮沉子在起始与下沉过程中内部空气的状态是一致的，从而浮沉子的运动状态也是一致的。
在撤去外力后，由之前分析，在两种方法下浮沉子受力改变分别为浮力减小ΔF浮和重力增大ΔG，由式(9)和式(13)可得，两者的变化量相同均为：
（15）
综上，两种不同的分析方法所得结果在浮沉子运动的各个阶段都是相同的，只不过一个是视物体浮力不变，重力增大；另一个是重力不变，浮力减小。而两者变化力的变化量也是相同的，最终使得在撤去外力后浮沉子的重力与浮力的差值均一致，即两种不同分析方法所得结果都是一致的。
四、浮沉子的不可逆现象
浮沉子不可逆的现象即是在撤去外力后浮沉子依旧保持下沉而无法上浮的现象。
根据之前的分析，我们知道当浮沉子下沉到一定深度并撤去外力时，浮沉子内空气压强变为
（16）
浮沉子所受外水压变为，
（17）
浮沉子下沉一定深度Δh后，撤去外力，浮沉子上浮原因在于此时浮沉子内部空气压强大于浮沉子所受水的压强，则若外部水压大于浮沉子内部气压，则浮沉子内空气不会膨胀，从而使得浮沉子保持下沉的状态。
即浮沉子不可逆需满足：
（18）
即：
（19）
我们现在先来考虑一下临界情况，即当上式等号成立时。
我们根据理想气体状态方程可以得出当上式等号成立时，浮沉子内空气体积改变量为：
(20)
我们将该式写为：
(21)
可见，浮沉子内空气最终撤去外力后体积变化与浮沉子下沉深度有关，随Δh增大，空气被压缩越多，最终达到临界值，浮沉子内空气无法膨胀。
但浮沉子不可逆的条件除了下沉一定深度后浮沉子无法通过空气膨胀改变重力与浮力的差值外，还有一点就是在空气无法膨胀的深度浮沉子的浮力小于重力。只有这两个条件同时满足浮沉子才会出现不可逆的现象。我们再次考虑临界值，即当浮沉子下沉深度到达空气无法膨胀的深度时，此时浮沉子的浮力刚好等于重力。（此处我们视浮沉子重力不变），
(22)
其中m0即为浮沉子质量，我们将此时的ΔV代入得出浮沉子下沉深度为：
(23)
则当撤去外力时浮沉子下沉深度大于Δh临界时，浮沉子内部空气无法再次膨胀，且此时浮沉子重力大于浮力，浮沉子保持下沉，即出现了浮沉子撤去外力也无法上浮的不可逆现象。
从中我们可以看出浮沉子不可逆临界深度与诸多因素有关，分别为浮沉子初始质量m0，浮沉子初始空气体积V0气，浮沉子小瓶体积V物。从式中我们可以看出，m0越大则Δh临界越小。m0越大则浮沉子重力越大，所实现重力大于浮力的深度也就越浅。式中还可以看出当V物增大时Δh临界也随着增大。V物越大则浮沉子体积越大，在水中的浮力也就越大，达到不可逆状态所需的临界深度也就越深。
综上，浮沉子出现不可逆现象的原因在于其下沉到一定深度后，外部水压导致内部空气无法膨胀，并且此时由于空气被压缩，浮沉子重力大于浮力，从而使浮沉子保持下沉的状态。浮沉子出现不可逆的临界深度与浮沉子初始质量、初始空气体积、浮沉子小瓶体积等因素有关。
参考文献：
[1]赵凯华，罗蔚茵.力学[M].北京：高
等教育出版社，.
[2]苏玉民，庞永杰.潜艇原理[M].哈尔
滨：哈尔滨工程大学出版社，
年3月4日★北京
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