都知道，保守力是指做功与路径无关的力。典型的保守力有重力、弹力、万有引力和静电场力等。但很多人不理解保守力的意思，是什么决定一个力做功与路径无关？为什么保守力会有势能？势能既然是位置的函数，有的人感觉应该能从数学的角度统一定义，但又不知道怎么弄。本文就来说说这些问题吧。
1
01
常见的保守力
先来撸一撸常见的几个保守力，已经深谙这部分的，可略过直接看下一节。
重力：质量为
的物体，以水平面为xy平面，竖直向上为z轴建立坐标系，如下图，设物体从空间a点沿任意路径运动到b点。
由于重力竖直向下，即为
根据做功的定义：将力对位矢从a点沿给定路径积分到b点，即为所做功，即
显然，上面第三个等号后面是一个定积分，其值不包含关于积分路径的任何信息，即做功与路径无关，只取决于始末位置，为保守力。
弹力：设劲度系数为
的弹簧水平放置，连接一个小球，以弹簧原长
位置为原点，水平向右的方向为x轴，如下图，设某时刻小球在a点，经历若干来回后，另一时刻位于b点。
根据上图所示坐标系，根据胡克定律，小球受回复力为
根据做功的定义
同样，做功的结果并不体现小球来回往返的信息，做功与路径无关，也是保守力。
万有引力：质量为
的质点，在质量为
的质点的引力作用下，从a点沿如图所示路径到b点。
以
为原点，
所受万有引力为
式中
为径向单位矢量，与
反向。万有引力做功为
大多数书上采用如上图微元法分析，稍微麻烦一点。若在极坐标系中分析，其实更直观，因为
，故
由于
大小不变，故
必定与
垂直（具体可参看