摘要:对一侧为平面的凸透镜和凹透镜沿主轴方向切割去一部分玻璃砖之后,剩余部分对光的折射影响的定性分析,说明这类透镜的光心不在透镜两侧面的中间位置,而是在主轴与球面的交点处;进而对两个相关的光学题目进行解析．
关键词:凸透镜;凹透镜;玻璃砖;主轴;发散;会聚
从一线教师对一道光学题目的困惑说起．
例1.如图1所示,一块两侧面平行的圆形玻璃板,沿球状曲面将其切割成左右两部分(球面半径远大于玻璃板口径),分别成为凸透镜和凹透镜,沿主轴方向横向拉开一段距离后,如图2所示,让一束与凸透镜主轴平行的光束从左边照射到凸透镜上,经两透镜两次折射后,折射光束
图1玻璃砖切割示意图图2切割后拉开示意图(A)仍平行于主轴.
(B)一定是发散光.
(C)一定是会聚光.
(D)可能发散,也可能会聚,但不可能是平行光.
图3平行光穿过玻璃板示意图这是一道在多个中学物理教辅资料光学部分可以看到的题目．解决这道题目给出问题的关键,是判断玻璃板分割成的凸透镜和凹透镜焦距之间的大小关系．笔者发现,很多教师对这道题目感到困惑,主要是对玻璃板沿球状曲面切割得到的两个透镜焦距大小关系的比较存在疑惑．这些教师的分析思路是这样：如图3所示,在玻璃板已经切割成两块但还没有分开之前,作为整体它依旧是左右两侧面平行的玻璃板,所以,垂直于侧面射入的光线由空气进入玻璃时不发生偏折,由玻璃板射出进入空气时也不发生偏折,平行光束中的每一条光线在穿越玻璃板前后方向都不改变,其转播径迹都是直线．
图4切割后拉开一个狭缝示意图如果我们只是将切割成的两透镜横向拉开一点点距离,相当于两透镜的相邻侧面之间只有一个小的夹缝,如图4所示,设F是左边凸透镜的右侧焦点．显然,如果没有凸透镜右侧凹透镜存在的话,那么,与凸透镜主轴平行的光束经凸透镜折射之后应该会聚于凸透镜的右侧焦点F,如图5所示,当凹透镜存在且两透镜之间的距离非常小时,跟图3的光路图相比较,从凹透镜右侧折射出的光线的传播方向不可能发生突变,所以,如果忽略透镜间狭缝宽度的话,那么,从凹透镜折射而出的光线仍将平行于主轴,因此,在玻璃板虽然已切割但还没有分开之前,凸透镜和凹透镜右侧的焦点应该是重合的．如图6所示由于在光的折射中光路是可逆的,所以,图1中,凸透镜和凹透镜左侧的焦点也应该重合,这样就出现了无法解释的矛盾——如果考虑玻璃板厚度的话,那么,凸透镜和凹透镜的光心分别在两透镜的中心,图1中两透镜的光心不重合,它们之间有一定的距离,所以,凸透镜和凹透镜两侧分别重合的焦点就不可能同时关于两透镜光心对称——这显然与“任何透镜都有两个焦点(不论透镜是什么形状的),并且两焦点关于光心对称”的论断相矛盾．
笔者以为,之所以出现这一看似无法解释清楚的矛盾,其主要原因是这些教师对透镜光心位置的判断出现错误．
实际上,两个侧面对称的凸透镜和凹透镜(即透镜两侧面的曲率半径相等的透镜),其光心在透镜的几何中心,也就是在透镜主轴上到两侧面等距离的位置．而对于两个侧面曲率半径不等的透镜,其光心的位置虽然也在透镜的主轴上,但光心到透镜两个侧面的距离不相等．
图5平行光通过凸透镜折射示意图图6平行光穿过有曲面狭缝的玻璃板我们不妨分析一侧是球面,另一侧是平面的凸透镜及凹透镜(球面半径远大于透镜口径的透镜)光心的位置．
如图7所示,如果我们在图7(a)凸透镜的平面一侧,以光轴为轴心挖去一块两侧面垂直于主轴的玻璃砖,如图7(b)所示显然,跟未挖去的图7(a)所示情形相比,挖去之后的剩余部分对从凸透镜左侧平行于主轴射入的光线,对应折射光线的位置和方向没有丝毫影响,所以,挖去玻璃砖之后,剩余部分右侧焦点相对于球面的位置不变;因为凸透镜右侧面球面半径远大于凸透镜的口径,所以,如果让光线从凸透镜右侧沿平行主轴方向射向凸透镜的话,则入射光线属于近轴光线,在进入玻璃发生折射时,每条光线的入射角和对应的折射角都非常的小,在玻璃中经球面折射后射向左侧的平面时对应的入射角也较小,与没挖去玻璃砖的情形相比,挖去玻璃砖之后因折射(指光线在凸透镜左侧平面由玻璃进入空气时的折射)而使光线透过玻璃砖时光线平移的距离也很小,所以,挖去玻璃砖后左侧焦点位置虽然跟挖去之前比有变化,但变化的距离非常的小,可以忽略,因此,挖去之后的剩余部分左侧焦点相对于球面的位置也不变．在图7(b)的基础上,如果以凸透镜的主轴为轴心,再次挖去一块玻璃砖,成为图7(c)所示的情形,其两边焦点相对于透镜球面的位置依然不变……,如此循环挖下去的话,就成了图7(e)所示的情形,其两侧焦点相对于球面的位置仍然不变,而当每次挖去玻璃砖的厚度趋于0时,最终所得到的螺纹状透镜光心刚好在透镜主轴与球面的交点处,所以,图7(a)所示情形的凸透镜,其焦点也在主轴与球面的焦点处．
再看凹透镜．如图8所示,对凹透镜而言,我们可以用同样的方法证明,图8(a)所示的一侧为平面,另一侧为球面的凹透镜,其光心在透镜主轴与球面的交点位置——不论凹透镜的厚度有多大．
图7从凸透镜一侧挖去玻璃板示意图图8从凹透镜一侧挖去玻璃板示意图所以,例题1中图1所示的玻璃板在切割还没有分开之后,左右两边的凸透镜与凹透镜,它们不仅左右两侧的焦点分别重合,其光心位置也是同一个点——位于主轴与球面的交点上．显然,由这一结论出发,就不会推出“透镜两侧焦点到透镜光心距离不等”的矛盾结果了．
图9两透镜放置示意图我们对例题1给出的问题按两透镜拉开距离的大小进行分类讨论．如图9所示,设O1、O2分别是凸透镜和凹透镜的光心,F凸1、F凸2、F凹1、F凹2分别是凸透镜和凹透镜两侧的焦点．
图10平行光通过两透镜折射示意图若两透镜拉开的距离小于透镜焦距,即O1O2O1F凸1,如图10所示,则平行于主轴的光束(AB是光束中的一条光线)经凸透镜折射之后,还未会聚于凸透镜右侧焦点,就遇到了凹透镜,设入射光线AB镜凸透镜折射后折射光线与凹透镜的交点为C,过O2作与光线BC平行的凹透镜的副光轴O2E,与凹透镜左侧的焦平面相交于点E(可以证明,该点也是凹透镜左侧焦平面与入射光线AB的交点),则光线BC经凹透镜折射后,折射光线的反向延长线过点E,由于C到主轴的距离比E到主轴的距离小,所以,折射光线CD一定与主轴相交,且交点在凹透镜右侧的主轴上,因此,平行于主轴的光束经两透镜两次折射后,变成了会聚光束(当然,会聚之后再向外传播时又成为了发散光束)．
若两透镜拉开的距离刚好等于透镜焦距,即图9中O1O2=O1F凸1,则平行于凸透镜主轴的光束经凸透镜折射之后会聚于凸透镜右侧焦点处,而该点正是凹透镜的光心,由于通过透镜光心的光线传播方向不变,所以,两透镜拉开1倍焦距的距离之后,就相当于凸透镜的右侧没有放置凹透镜,平行于凸透镜主轴的光束经凸透镜折射之后先会聚于凸透镜右侧焦点,继而变成发散光束向外传播．
若两透镜拉开的距离大于透镜焦距,即O1O2O1F凸1,则平行于凸透镜主轴的光束经凸透镜折射之后先会聚于凸透镜右侧焦点,继而变成发散光束向右传播时才遇到凹透镜,经凹透镜折射之后,发散程度加大．
无论两透镜拉开的距离是多大,平行光束经两透镜折射之后都不会出现平行的情形,所以,例题1的正确选项是(D)．
对于例题1如果我们改换一下条件,让平行于主轴的平行光束从凹透镜一侧射入,问题的解决将变得不同.
例2.如图1所示,一块两侧面平行的圆形玻璃板,沿球状曲面将其切割成左右两部分(已知球面半径远大于玻璃板口径),分别成为凸透镜和凹透镜,沿主轴方向横向拉开一段距离后,如图2所示,让一束与凹透镜主轴平行的光束从右边照射到凹透镜上,经两透镜两次折射后,折射光束
(A)仍平行于主轴.
(B)一定是发散光.
(C)一定是会聚光.
(D)可能发散,也可能会聚,但不可能是平行光.
图11平行光通过两棱镜折射示意图解析:如图11所示,我们以平行光束中的一条光线为例进行分析．平行于凹透镜主轴的光线AB经凹透镜折射后,折射光线BC的反向延长线过凹透镜的右侧焦点F凹2,过凸透镜的光心O1作平行于BC的副光轴O1E,与过凸透镜左侧焦点F凸1的焦平面相交于点E,则射向凸透镜的入射光线BC经凸透镜折射之后,沿CE方向射出,由于点E离凸透镜主轴的距离比点C离凸透镜主轴的距离小(可以进行逻辑论证),所以,折射光线CE与凸透镜的主轴相交,且交点在凸透镜左侧的主轴上．这就是说,平行于透镜主轴并从凹透镜一侧射入的光线,不论两透镜之间的距离多大,经两透镜两次折射后,从凸透镜折射而出的光一定是会聚光(会聚之后再向前传播时变成了发散光)．
我们也可以改换一个角度,从点光源经凸透镜成像的情况进行解析．对凸透镜而言,当点光源放在焦平面之内时,从点光源发出的光线,经凸透镜折射之后变得发散,发散的折射光线的反向延长线交于一点,这一交点即为点光源的虚像点;当点光源位于凸透镜的焦平面时,从点光源发出的光线经凸透镜折射后平行射出(各折射光线平行于过点光源的副光轴);当点光源在焦平面之外时,从点光源发出的光线经凸透镜折射后会聚于凸透镜另一侧的某点(点光源的实像点)．由图11可知,不论凸透镜和凹透镜之间的距离有多大,从凹透镜右侧沿平行于主轴方向射向凹透镜的光线,经凹透镜折射之后,这些折射光线的反向延长线的交点(即凹透镜的右侧焦点)一定在凸透镜的右侧焦平面之外,这就相当于在凸透镜的右侧焦平面之外主轴上的某点放置一个点光源,所以,点光源“发出”的光射向凸透镜,经凸透镜折射后一定会聚于主轴上的某个点．
因此,本题的正确选项是(C).
由以上两个例题给出问题的分析可知,圆形玻璃板沿球面切割分成凸透镜和凹透镜并拉开一定的距离,即使玻璃板很厚,在切割面半径远大于玻璃板口径的情况下,两透镜的光心都分别在它们主轴与球面的交点上,且两透镜焦距相等．让平行光束从一个透镜射入经两透镜折射之后,折射而出的光束究竟是发散光束还是会聚光束,跟光穿过两透镜的顺序和两透镜之间的距离都有关系,光线穿过透镜的顺序不同,两透镜之间的距离不同,折射而出的光束发散和会聚的情形也不尽相同．
参考文献：
1唐新科.决定透镜光心位置的因素[J].物理通报，(11)：42-43.
2孙报竹.透镜的光心在哪里[J].物理教师，(4)：42-43.
3陈荣高.透镜的光心在哪里[J].中小学实验与装置，(2)：11-12.
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