之所以写量子计算系列有两个原因，一是帮感兴趣的读者走进量子计算的大门，并且在进阶的路上少踩坑；其次写作也是我自己总结和提升的过程。
说到坑，数学绝对算一个，对少数天才除外。我在开篇《走进量子计算前的世界观准备》中提过：我们所感知到的世界是现象世界，数学是描述现象的一种语言符号系统。至于现象背后的“本质”是什么？对不起，无法言说。
???
能说的，都不真
老子说“道可道，非常道”，还说“夫惟不可识，故强为之容”，意思就是道没法说、没法认识，如果偏要讲，我只能勉强说说，但说出来的，就已经不是“道”了。佛家也一样，禅宗“第一义”的本性便是“不可说”。有人问文益禅师：“如何是第一义？”师云：“我向尔道，是第二义”。所以佛祖曾说自己讲法四十九年，未曾说过一字。然后道生一，一生二，二生三，三生万物，这个“本质”生出了大千世界。不过千万别把大千世界看作实体性的存在，它是现象。这个现象世界存在于我们的感知中，是我们感知的结果（论证过程不再赘述，见开篇《走进量子计算前的世界观准备》）。《金刚经》说“凡所有相，皆是虚妄”，就像电脑游戏，一切都是0和1虚拟出来的，穿的衣服是假象，手里的枪是假象，射出的子弹还是假象。???
等价性：怎么说都对
现象有两个特点：无限杂多（经验）。每天的太阳都是新的、每一片雪花都独一无二。原因在于意识必须在一定复杂性上才能产生——意识和现象本就是一回事。有规律可循（理性）。杂多的现象必须通过意识主体的先天认识形式才能被感知和理解——康德的“知性为自然立法”。理性用语言符号去描述现象，符号必然是一种简化，所以无论如何都不是完整、全面的描述。而语言是思维的载体，我们如何描述现象，就如何理解它。而所谓正确的理解，就是能对现象作出正确的预测。于是会出现两种结果：理解错了，预判和结果不一致对同一个现象，有多种等价的描述（等价性）就我个人的体验，这个等价性，会带来理解上的困扰。借一段物理史上的公案来说说：伟大的玻尔在年提出了一种对氢原子结构的猜想，后来发展成为量子力学的哥本哈根诠释。他说，原子中的电子围绕原子核，在某些特定的轨道上以一定频率运行，并时不时地从一个轨道跃迁到另一个轨道上去。每个电子轨道都代表一个能级，因此当跃迁发生时，电子就按照量子化的方式吸收或者发射能量，其大小等于两个轨道之间的能量差。后来，海森堡认为这种解释有问题，就是电子的轨道，还有它绕着轨道的运转频率，都不是能够实际观察到的，就是说每个轨道能量的绝对值——比如轨道1的能量，轨道2的能量——分别等于多少，我们永远无法知道。我们唯一知道的只有电子从轨道1跃迁到轨道2的能量差：于是，海森堡以不同能级之间的能量差作为变量，发明了矩阵力学。电子的动量和位置等物理量在矩阵力学中变成了一张张表格（矩阵），因此物理量之间的运算法则发生了颠覆性的变化，比如矩阵乘法不遵循交换律。年11月26日，“论量子力学Ⅱ”在《物理学杂志》上发表，奠定了矩阵力学的基础，它在理论上和实验上都站稳了脚跟，正确性毋庸置疑。但在一百年前的物理学家眼里，矩阵实在太怪异了。人们一再追问，这里面的物理意义是什么？矩阵究竟是个什么东西？海森堡的回应简单而决绝：所谓“物理意义”是不存在的，如果有的话，那数学就是一切“意义”所在。半年后，薛定谔发表了他的波动方程，用一个二阶偏微分方程描述微观粒子的运动。这玩意儿牛顿在17世纪就发明了，大家很熟悉呀，于是乎全世界的物理学家都松了一口气：他们终于解脱了，不必再费劲地学习海森堡那异常复杂和繁难的矩阵力学。不久有人证明了矩阵力学和波动力学在数学上是等价的，于是大家彻底放飞自我，全部投入了波动力学的怀抱。好，说这么多，还是为了强调——现象背后的，不可说；而对于现象，可以有一万种说法。只要自圆其说、行之有效，想怎么说都行。虽然在量子力学中，矩阵成为了非主流，但是在量子计算的场景下，矩阵是最趁手的工具。???
量子计算中的矩阵
矩阵就是个表格，每个格子里填一个数，可以是实数，也可以是复数。表格由M行和N列组成，如果M=N，叫方阵。之前的文章有介绍过，在量子计算中，单量子比特的状态可以用2维列向量表示，对单量子比特的操作，可以用2x2方阵A表示。用A乘以，就改变了的状态，得到一个新的量子比特。关于A，介绍几个将会用到的概念：逆如果有这样一个矩阵，让先乘A再乘，依然得到，那么就是A的逆矩阵，在量子计算中就是A的逆操作：转置把一个矩阵A的行和列交换得到一个新矩阵叫做A的转置矩阵：共轭共轭是从复数借来的概念，如果复数，那么它的共轭：如果b=0，c就是实数，此时它的共轭就是它自己。同理，把矩阵A中的元素，不论实数还是复数，都变成各自的共轭，就得到A的共轭矩阵共轭转置先取A的共轭，再对做转置，得到就是A的共轭转置。对于状态向量，它的共轭转置用表示。由于是列向量，所以必然是个行向量，并且中的每个元素，都是中每个元素的共轭复数。数学上又把叫做右矢，它的共轭转置是相对应的左矢。向量的内积用表示，即点乘。???
幺正性：概率之和等于1
量子比特只有0、1两态，它处于两态的概率和必然为1。因此，对于状态向量：必然有：此时我们说具有幺正性（也可以说是单位向量）。酉矩阵保证了幺正性对量子比特的任何操作，都相当于操作矩阵A乘以状态向量，然后得到新的状态向量：新状态向量必然也满足幺正性，否则就不是量子比特了。因此，操作矩阵必须具有这样的性质：它乘以一个幺正向量，得到的向量还是幺正向量。这样的矩阵叫酉矩阵，数学上这样定义：如果矩阵A的共轭转置等于A的逆，即：那么A就是一个酉矩阵。酉矩阵对幺正性的保证，证明如下：1.向量内积就是概率和有一个状态向量：它的共轭转置（左矢）是：的内积是：就是所谓的概率和。2.新向量的内积必为1经过操作矩阵A的变换，得到新状态，即，不难证明，新向量的共轭转置（等于原向量的共轭转置乘以操作矩阵的共轭转置）：那么新向量的内积：根据酉矩阵的定义，有：所以:根据逆矩阵的性质，有：所以：由于，所以：酉矩阵保证了状态向量的幺正性。可逆门啰嗦一下，“操作”和“门”在量子计算的语境中是一个意思，用哪个词取决于表达上的方便。经典计算机中的“与门”，计算逻辑如下：对于与门如果我们得到输出1，那么我们知道输入值都是1，但是，如果我们得到输出0，那么有三对能得到该输出的输入。如果没有得到额外的信息，我们无从得知实际输入是三种可能输入中的哪一种。因此，与门不是可逆门。冯·诺依曼曾推测，当信息丢失时，能量被消耗——它以热量形式消散。罗夫·兰道尔证明了这个猜想，并给出了每丢失一位信息，至少损失的能量值：其中k是玻尔兹曼常数，T是进行计算时的温度。尽管这个热量微不足道，但是当每秒进行万亿次运算时，会产生两个结果：一是电路发热严重；二是耗电量巨大。所以很多大型数据中心要么选在电量便宜的地区建造，比如靠近核电站或水电站，要么建在方便降温的地方，比如湖底或海底。绝大部份量子门都是可逆门，由于可逆门不会丢失信息，因此产生的热量非常少并且非常节能。???
小结
理解一种现象的最佳方式是先建立感性认识，再通过学习理论加深理解。如果上来就啃公式、背定律，会陷入概念的泥潭中难以自拔。因为对同一个现象，可以有N种描述方式，并且每种都是对的，把事情搞复杂了。这次借可逆门聊聊数学，是因为一些基础概念以后可能会用到，比如右矢、左矢、内积、共轭、转置等等。至此，单量子比特的介绍告一段落，下篇开始，看看多量子如何“纠缠”。预览时标签不可点收录于合集#个上一篇下一篇